高等数学是考研数学的考点之一，高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性是这一学科的重要特点，所以我们在复习的时候不仅仅是背和记，还要利用逻辑思维、空间思维、应用思维来理解，非常的不容易，要舍得花时间。为了能够帮助到我们的2023考研学子，小编在这总结下2023考研高数知识点：数列求极限。

一、运用极限的定义来求极限

定义：设{an}为数列，a为常数，若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an-a|<ε，则称数列{an}收敛于a，常数a称为数列{an}的极限.

二、利用极限四则运算法则及重要公式和初等变形求极限

(1)四则运算法则：若 limn→∞an=a， limn→∞bn=b.

limn→∞(an±bn)=a±b， limn→∞(anbn)=ab，

limn→∞anbn=ab(b≠0).

(2)limn→∞alnl+al-1nl-1+…+a0bknk+bk-1nk-1+…+b0=limn→∞alnlbknk.

当l=k时，原式=albk;当lk时，原式=+∞.

(3) limn→∞qn=0(|q|=0).

(4) limn→∞na=1(a>0).

(5) limn→∞an=a.

则① limn→∞a1+a2+…+ann=a.

② 若an>0，limn→∞na1a2…an=a.

(6)若{an}是等比数列，其前n项和为Sn，公比q满足|q|=1，则 limn→∞Sn=a11-q.

三、利用重要极限求数列的极限

(1) limn→∞sinxx=1.

变形 limn→∞sinφ(n)φ(n)=1(n→∞，φ(n)→0).

(2)limn→∞ax-1x=lna(a>0).

变形 limn→∞aφ(n)-1φ(n)=lna(a>0)(n→∞，φ(n)→0).

(3) limn→∞1+1nn=e.

變形 limn→∞(1+φ(n))1φ(n)=e(n→∞，φ(n)→0).

推广：(1)n→∞.若φ(n)→0，f(n)→∞且φ(n)·f(n)→A，

则 limn→∞(1+φ(n))f(n)=limn→∞ef(n)ln(1+φ(n))=limn→∞ef·φ=eA.

(2)n→∞.若φ(n)→1，f(n)→∞且(φ(n)-1)f(n)→B，

则 limn→∞φ(n)f(n)=limn→∞ef(ln(φ(n))-1)=eB.

四、单调有界数列法、单调有界数列必收敛(即存在极限)

(1)利用“单调数列必收敛”证明极限存在;

(2)令 limn→∞an=a，对an+1=f(an)两边取极限，转化为关于a的方程，求出a的值.

五、利用迫敛性准则求数列极限

如果数列{xn}，{yn}，{zn}满足下列条件：

(1)从某项起，均有yn≤xn≤zn;

(2) limn→∞yn=a，limn→∞zn=a，则limn→∞xn=a.

六、利用柯西收敛准则证明极限的存在性

例证明an=b112+b222+b332+…+bnn2(|bn|≤M，n=1，2，…)收敛.

证明ε>0，N>0，使得当n>N，P∈N+，有1n2≤1n(n-1)=1n-1-1n，|an+p-an|=M1n+p-1-1n+p+1n+p-2-1n+p-1+…+1n-1-1n≤M1n<ε.

七、利用等价无穷小代换求极限

重要的近似公式：当x→0时

(1)sinx～x;(2)tanx～x;(3)ex-1～x;

(4)1-cosx～12x2;(5)arcsinx～x;(6)arctanx～x;

(7)ln(1+x)～x;(8)ax-1～xlna(a>0且a≠1).

八、利用定积分求数列极限(此类方法主要是处理无限项求和或求积的形式)

定积分的定义的数学形式：实际使用中[a，b]→[0，1]比较常见.

∫baf(x)dx=limn→∞∑ni=1fa+i(b-a)nb-an(取右端点定义，x0=a)，

∫baf(x)dx=limn→∞∑n-1i=0fa+i(b-a)nb-an(取左端点定义，xn=b).

以上就是总结的“2023考研高数知识点：数列求极限”全部内容，希望对大家有所帮助，更多的内容可关注湖南良师启航考研官网。